中3数学では、円周角の定理に関する問題に触れることも多いかもしれません。原理を知っておくと暗記に頼る必要はありませんし、興味も深まりますよね。今回は、中学数学での円の性質である、円周角の定理の証明・円周角と中心角の関係がなぜ成り立つのかを、問題でもよく出てくる事例に触れながらご紹介します。
そもそも円周角とは、円の上にある任意の1点から円の上にある別の2点を引くときに生じる2つの線分が作る角のことです。言葉ではイメージしづらいなら、図で捉えておいても良いでしょう。赤い色を塗った部分が円周角と言います。
先ほどの『別の2点』からそれぞれ、円の中心にも線分を引いてみましょう。円の上にある異なる2点と円の中心同士を結んだ際に生じる2つの線分が作る角度のことを、中心角と言います。このとき、円周角は必ず中心角の半分の大きさになるのです。この法則性のことを数学では円周角の定理と呼びます。円の上にある点であれば任意に(好きな場所に)取れると書きました。つまり、円の上にあるどの3点においても円周角の定理は成り立ちます。
円周角の定理『円周角×2＝中心角』が成り立つと言われても、イメージできないかもしれません。そこで、 実際に証明問題でも出題される事例を使って円周角の定理がなぜ成り立つのかをみていきましょう。ここではわかりやすいように『 円の上にある任意の1点 』をA・『別の2点』をB.Cとして、円の中心をOとします。BC同士も線分で結んで円周上の3点で三角形を作ったとき、三角形と円の位置関係で考えられるのは以下の三つです。
①三角形ABCの内側に円の中心Oがある場合
②三角形ABCの外側に円の中心Oがある場合
③三角形ABCの線分上に円の中心Oがある場合
AOを結んで、延長線と線分BCの交点をDとします。円の中心Oが三角形ABCの内側にあるので、図のように三角形ABCは△ABDと△ACDに分かれました。三角形OABにおいて、AとBはOを中心とする円周上にあるので、OA＝OB＝半径が成り立ちます。つまり△OABは二等辺三角形で、∠OAB＝∠OBA＝オレンジ色の●です。同様に三角形OACにおいて、OA=OC=半径より ∠OAC＝∠OCA(＝黄緑色の○)が成り立ちます。三角形の外角の定理より、∠DOB＝ ∠OAB＋∠OBA＝●●・ ∠DOC＝ ∠OAC＋∠OCA＝○○です。よって円周角∠Aは∠BAC＝∠OAB＋∠OAC＝●+○、中心角は∠BOC＝ ∠DOB＋ ∠DOC＝ ●●＋ ○○なので、円周角の2倍が中心角だとわかりました。
三角形の外側に円の中心があると変な印象を受けるかもしれませんが、証明ですることは同じです。AOを結んで、延長線と円周との交点をDとしました。三角形OABにおいて、OA＝OB＝半径で△OABは二等辺三角形なので、∠OAB＝∠OBA＝オレンジ色の●です。同様に三角形OACにおいて、OA=OC=半径より ∠OAC＝∠OCA(＝黄緑色の○)が成り立ちます。三角形の外角の定理より、∠DOB＝∠OAB＋∠OBA＝●●・ ∠DOC＝∠OAC＋∠OCA＝○○です。よって円周角∠Aは∠BAC＝∠OAC-∠OAB＝○-●、中心角は∠BOC＝ ∠DOC- ∠DOB＝ ○○-●●なので、円周角の2倍が中心角だとわかりました。
ちなみに、 三角形ABCの外側に円の中心Oがありかつ∠Aが90度以上つまり鈍角の場合、中心角は180度以上になります。同じように証明できますので、気になる場合には確かめてみましょう。
三角形ABCの線分上に円の中心Oがある場合は、さらに2通り考えられます。『円の上にある任意の1点』Aを含む線分つまりABまたはAC上にOがある場合と、『別の2点』BCを結んだ線分上に円の中心がある場合です。
BとCは設定条件が全く同じため、入れ替えても成り立ちます。よってここでは 線分AB上に円の中心がある場合のみを考えましょう。OCを結ぶと、OA＝OCより ∠OAC＝∠OCA(＝黄緑色の○)が成り立ちます。三角形の外角の定理より、 ∠BOC＝ ∠OAC＋∠OCA＝○○です。よって円周角の2倍が中心角の大きさになります。
求めたいのは円周角∠Aですから、①の場合と同様に AOを結んで、延長線と線分BCの交点をDとします。後は全く同じ要領ですから、関係性も同じです。ところで、 線分BC上に円の中心がある場合、BとCとOは同一直線上にありますから、∠BOC＝180度が成り立ちます。
つまり、円周角の定理より、円周角が∠A＝180÷2＝90度なのです。三角形のうち一つの辺が円の中心を通るとき、対応する円周角が直角になることもわかりました。三角形の辺の一つが円の直径であるときに直角が存在するのは、円周角の性質として、円の角度を求める際に利用できますので、押さえておくのがおすすめです。
円周角の定理を用いた問題の中には、四角形が出てくることもあります。一番多いのは、内角の一つがわかっていて、対角を求める問題です。「内接する四角形の向かい合う角度の和は180度」だと知っていても、なぜ成り立つのかが気になるかもしれません。四角形でも同じように円周角の定理の考え方が使えますので、みていきましょう。
ここでは、∠Aの対角が∠Dになるように、点Oを中心とする円に内接する四角形ABDCを作りました。各頂点とOを結ぶと、OA=OB=OC=OD(半径)ですから、∠OAB=∠OBA=赤色の●・ ∠OBD=∠ODB =緑色の● ・ ∠ODC=∠OCD =黄色の● ・ ∠OCA=∠OAC =青色の● が成り立ちます。∠A=∠OAB+∠OAC= 赤色の●+ 青色の●・∠D= ∠ODB+ ∠ODC= 緑色の●+ 黄色の●なので、∠A+∠D= 赤色の●+ 青色の●+ 緑色の●+ 黄色の●です。他方、四角形の和は360度であることから∠A+∠B+∠C+∠D= ∠OAB+∠OAC+ ∠OBD+ ∠OBA+ ∠ODB+ ∠ODC+ ∠OCA+ ∠OCD=(赤色の●+ 青色の●+ 緑色の●+ 黄色の●)×2=360度が成り立ちます。よって、 ∠A+∠D= 赤色の●+ 青色の●+ 緑色の●+ 黄色の●=180度で、内接する四角形の向かい合う角度の和は180度だと証明できました。
円周角の定理で中心角との関係を利用すると、∠COB(∠A側)=2×∠D= 2×(緑色の●+ 黄色の●)・∠COB(∠D側)=2×∠A= 2×( 赤色の●+ 青色の● )です。一周は360度ですから、 ∠COB(∠A側)+ ∠COB(∠D側)= 2×(緑色の●+ 黄色の●+ 赤色の●+ 青色の●)=360度が成り立ちます。よって、 ∠A+∠D= 赤色の●+ 青色の●+ 緑色の●+ 黄色の●=180度で、内接する四角形の向かい合う角度の和は180度だとわかりました。
今回は、円周角の定理の証明でなぜ成り立つのかを、中学数学の問題でもよく出てくる事例に触れながらご紹介しました。どの位置であっても角度の関係を踏まえると証明できます。円周角の性質は三角形の角度を求めるほかに、内接四角形でも利用できる内容ですから、あわせて押さえておくと良いでしょう。最後までお読みいただきありがとうございました。