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中学数学、直角三角形の三平方の定理とは?ピタゴラス(平方根)の定理をExcelの図形で

新型コロナウイルス感染症(COVID-19)による休校の影響が中学の指導要領にも出ていて、高校入試では三平方の定理を含む一部の内容が外される話もあります。ピタゴラスが導き出した平方根を使った定理ですが、それが何かが気になるかもしれません。直角三角形における一番基本的なのが三平方の定理なので、その仕組みや解法を押さえておきたいですよね。今回は、中学数学で学ぶ直角三角形の三平方の定理とは何かについてとその導き方をExcelの図形(オートシェイプ)挿入を使いながらご紹介します。



◎中学数学、直角三角形の三平方の定理とは?ピタゴラスの定理・平方根の定理


中学の数学で習う三平方の定理とは、直角三角形の3辺の長さに関して成り立つ式を表したものです。3平方の定理には様々な別名があり、ピタゴラスの定理・平方根の定理などは聞いたことがあるかもしれません。公式は、直角三角形の一番長い辺の長さ(aとする)を2乗したものが他の辺の長さ(b.cとする)を2乗したものの合計と一致することで、


a²=b²+c²


と表されます。



●三平方の定理や直角三角形を使う際に覚えておくと便利な整数


三平方の定理における直角三角形の各辺の長さは、正の実数であれば成り立ちます。しかし、全てが整数の場合は多くの問題で使用されやすいので、三平方の定理を使わずに直接覚えておいても良いでしょう。3辺の長さが3.4.5の直角三角形は、面積を求める場合にも平方根の三平方の定理を使う場合にもよく出てきます。5.12.13・8.15.17・7.24.25などの直角三角形についても同様に成り立ちますので、ついでに押さえておくと良いでしょう。

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◎数学の三平方の定理の導き方をExcelの図形挿入(オートシェイプ)でご紹介


3平方の定理は、実は小学校で習う面積の考え方や中学1年生で学ぶ文字式でも解けます。仮に三平方の定理を知らなくても、面積や長さを求める際に使える方法ですから、証明方法を押さえておくのがおすすめです。今回は、Excelで目盛り線を用意し、図形(オートシェイプ)を挿入しましたので、こちらを使って解説していきましょう(Excel上の図形寸法は見やすいように6.8.10セルとして表記しました)。



●3平方の定理を直角三角形の角度動かし文字式で表現、Excelの図形挿入を使用


直角三角形の角度を90度ずつ動かし、左の図のように長辺の頂点二つを異なるように並べます。すると、


1辺が(X+Y)の正方形が外側にでき、面積は(X+Y)²:①


です。一方で、内側にある正方形は、直角三角形で一番長い辺に該当し、その面積は

Z×Z=Z²:②

と表されます。大きな正方形から小さな正方形を除いたのが直角三角形4つ分ですから、式は

(大きな正方形の面積)-(小さな正方形の面積)=X×Y÷2×4=2XY:③

です。文字式の展開公式を利用すると、

➀は(X+Y)²=(X+Y)(X+Y)=X²+XY+XY+Y² (←大きな正方形の面積に該当)

なので、②③合わせて(X+Y)²-Z²=2XYより、X²+XY+XY+Y²-Z²=2XYで、

三平方の定理であるX²+Y²=Z²が導き出せました。ちなみに、右の図のように直角三角形の頂点を結んで正方形を半分にし、台形の面積を求める方法でも三平方の定理が出てきますので、気になる方は試してみましょう。



○三平方の定理は直角三角形の小学校で使う面積公式にも関連性が


90度ずつ回転させて四つ並べた直角三角形を使えば、小学校で学ぶ面積の公式だけで三平方の定理をイメージできます。Excelの図形(オートシェイプ)のように直角ではない頂点同士をつなげるようにして並べると、短い2辺の長さの合計が計算できるので、そこから4つの直角三角形を引くと正方形の面積です。

いわゆる(底辺)×(高さ)あるいは(底辺)×(高さ)÷2を繰り返します。たとえば、底辺6.8の直角三角形なら大きな正方形=(6+8)×(6+8)=196、三角形の面積=6×8÷2=24で直角三角形の長辺を1辺とする正方形=196-24×4=100で確かに10の2乗になっていますよね。特に三平方の定理を知らない状態で直角三角形の長辺を1辺とする正方形の面積を求める際には、この図が効いてくるでしょう。



●直角三角形の面積図を使った三平方の定理の証明方法


3平方の定理は実は、中学数学を知らなくても解けます。具体的には、直角三角形を踏まえた面積図を使う方法です。例の直角三角形4つ並べて外側と内側に正方形を作った図を使ってみましょう。


このうちオレンジの直角三角形を赤の直角三角形と斜辺がくっ付くように動かします。同じ大きさ形の直角三角形ですから、ぴったりと一致しますよね。同じように紫の直角三角形を動かして黄緑の直角三角形と合わせます。余った部分に2つの正方形ができているのがわかりますか?同じ大きさ形の直角三角形のうち、短いもの同士の辺、長いもの同士の辺の正方形です(下側はオレンジの三角形の短い方の辺と紫の短い方の辺による正方形)。

この2つの正方形は、大きな正方形から赤・オレンジ・黄緑・紫の4つの直角三角形を引いたものですから、左側の図にある小さな正方形と一致します。この小さな正方形は直角三角形の一番長い辺を一辺としますから、直角三角形の一番長い辺の2乗が他の二辺をそれぞれ長さとする正方形の合計に一致することがわかり、三平方の定理が証明できました。



●直角三角形の相似比と面積比を使った三平方の定理の証明方法


中学数学までの内容を使った三平方の定理の証明方法としては、直角三角形の相似比と面積比を使う方法があります。三角形の相似とは、3つの角が等しい場合に必ず形が同じであるため、各辺が同じ倍率だけ拡大または縮小すると一致する性質です。また、三角形の面積比は、相似比の2乗であることを利用します。


以下の図を使って導き出してみましょう。直角三角形のうち、角度が90°の頂点Aから対辺へ垂線(角度が90度になるような直線)をおろし、その点をDとします。こうすることで、内側にさらに2つの直角三角形ができますよね(90°の角は桃色の■で表しています)。また、角度を見てみると、茶色の直角三角形のうち左側の角度(黄色の○)は紫色の直角三角形の○と同じものであり、右側の角(水色の☆)は黄緑色の直角三角形の☆と同じものです。


したがって、茶色と紫色・茶色と黄緑色の三角形は二つの角度が等しく、引き算をすると3つ目の角度も同じなので、いずれの直角三角形も相似であるとわかります。斜辺(直角の頂点の対辺)の長さをそれぞれa.b.cとすれば、相似比がa:b:cで表せるので、面積比は2乗のa²:b²:c²です。大きな直角三角形は小さな直角三角形を合わせたものですから、三平方の定理であるa²=b²+c²が成立すると証明できました。

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◎エクセルの図形(オートシェイプ)挿入の使い方


三平方の定理を直角三角形などを使って説明するのには、Excelの図形であるオートシェイプを使いました。その挿入方法についてもご紹介します。まず、エクセルシートを開き、上部にある『挿入』⇒左側にある『図』⇒中央部の『図形』の順番に開いていきましょう。すると、多くのオートシェイプが出てきますので、使いたい図形をクリックします。


セルに合わせて+マークを動かすと図形が出てきたことでしょう。作ったものを左クリック(パッドなら左下)を押し続けてタッチパッドの中央部またはマウスを動かすことで作成できます。また、回転・拡大縮小や移動も可能です。拡大縮小は図形の周りに出てくる○を触る・回転は図形の上側の⤵マークをクリックし続けることで・移動は図形をクリックしながらスライドさせることで行いましょう。



◎まとめ


今回は、中学数学で学ぶ直角三角形の三平方の定理とは何かについてとその導き方をExcelの図形(オートシェイプ)挿入を使いながらご紹介しました。3平方の定理は平方根の定理とも呼ばれており、直角三角形の長辺の2乗が他の辺の2乗の合計と一致する(a²=b²+c²)ことを示しています。三平方の定理の中でも3辺がいずれも整数のものはよく使われますので、この機会に覚えておくと問題が解きやすくなるでしょう。最後までお読みいただきありがとうございました。

家庭教師のがんば


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