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ほうべきの定理とは?方べきの定理の公式を角度や比で証明、中学での問題も

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方べきの定理を中学や高校で習ったときにどのように証明するのかが気になったかもしれません。求め方を知っておくと暗記に頼る必要もないですし、理解が深まりますよね。今回は、方べきの定理および方べきの定理の逆の証明方法を、応用問題も合わせてご紹介します。

◎数学:方べきの定理は中学課程?いつ習うものなのか?


方べきの定理は、文部科学省の指導要領では高校数学Aの平面図形の内容に組み込まれています。数aの中で方べきの定理は、三角形の五心や多角形が円に内接する条件など図形の特徴を学ぶ課程の一例として出てくることが多いです。ただし、円周角の定理など円と三角形の性質の応用形として取り上げられることもあり、進度が速いと中学2年生あたりで出てくるかもしれません。

◎ほうべきとは?方べきの定理とは?


方べきとは、円周上にない点Xから円を通る直線を引いて交点をP.Qとしたときに、点と交点の距離の積を指し、XP×XQなどと表されます。特殊事例として、直線が円の接線である場合にはPとQが同じ点なのでXP²です。方べきの定理とは、このように定義された方べきが一定であることを指します。たとえば、以下の図形であればXP×XQ=XR×XSです。


なお、方べきの定理は、英語では[Power of a point theorem]と表記します。powerは数学用語ではべき・累乗との意味もあり、先ほどのXP²などを見ると連想しやすいかもしれません。

◎円の性質:方べきの定理の公式の証明、角度や長さの比の関係性に着目


今回はわかりやすいように、直線を引く基準の点をX・異なる2つの直線と円の交点のうち片方をAとB・もう片方をCとDとしました。なお、AとDは直線BCで区切ったときに同じ側にあるものとします。


ここでは円周角の定理として、同一弦からの円周角がいずれも等しいことと、内接四角形の対角の和の関係性を利用しています。円周角の定理について詳しくはこちらの記事で触れておりますので、参考にしていただけますと幸いです。

●ほうべきの定理の証明:基準の点が円の内側にあるとき


基準の点Xが円の内側にあるとき、Xは線分ABおよび線分CDの間にあります。図の三角形XACと三角形XDBにおいて、円周角の定理より∠XAC=∠XDB・∠XCA=∠XBDが成り立つので、三角形XACと三角形XDBは相似です。相似な三角形は辺の長さの比が等しいので、AX:DX=CX:BXの関係が成立します。よって、AX×BX=CX×DXとなりました。

●基準の点が円の外側にあり、点からの2直線が円と2つずつ交点を持っている場合


基準の点Xが円の外側にあるとき、Xは線分ABおよび線分CDの外側にあります。図で、Xに近い側の点同士(AとD)・遠い側の点同士(BとC)を結びました。円周角の定理より円に内接する四角形の対角の合計は180度なので、∠CBA+∠CDA=180°・ ∠BAD+∠BCD=180°が成り立ちます。また、直線は180度より∠XAD+∠BAD=180°・∠XDA+∠CDA=180°です。したがって三角形XADと三角形XCBにおいて ∠XBC=∠CBA=180°ー∠CDA=∠XDA・∠XCB=∠BCD=180°ー∠BAD=∠XADより相似なので辺の比からXA:XC=XD:XBで、AX×BX=CX×DXとなりました。

●基準の点が円の外側にあり、点からの2直線の一方が円の接線である場合


点からの2直線の片方が円の接線のとき、円と直線の交点は1つだけですから、C=Dだとして考えます。三角形XACと三角形XCBにおいて接弦定理より∠XCA=∠XBCが成り立ち、∠Xは共通角なので∠AXC=∠CXBです。したがって三角形XACと三角形XCBは相似なので、XA:XC=XC:XBで、AX×BX=CX×DXとなりました。なお、接弦定理の詳しい証明に関しては、こちらの記事で触れています。

●基準の点が円の外側にあり、点からの2直線がともに接線である場合


円の外側の点から円に2つの接線を引いたときもまた、方べきの定理が成り立ちます。円と直線の交点は1つだけですから、A=B・C=Dとして考えると、合同条件よりXA=XCとなり、 AX×BX=CX×DXを満たすのです。方べきの定理の特殊事例として、 点からの2直線がともに接線の場合には点から接点までの距離が等しいことが成り立つことも押さえておくと良いかもしれません。詳しい証明方法はこちらの記事を参考にしていただけますと幸いです。

◎ほうべきの定理を利用した中学での練習問題

◎方べきの定理の逆の証明


方べきの定理には逆と呼ばれるものも存在します。方べきの定理の逆とは、『直線ABと直線CDがXで交わるとき、AX×BX=CX×DXの関係性が成り立つ4点A.B.C.Dが同一円周上に存在する』ことです。先ほどと同様に、Xが線分ABおよびCD上にある場合・外側にある場合・2点が一致している場合などXとA.B.C.Dの関係性は様々ですから、同じように場合分けでみていきましょう。

●Xが線分ABおよび線分CDの間にある場合


AX×BX=CX×DXが成立するとき、AX:CX=DX:BXです。また対頂角が等しいので∠AXC=∠DXBで、この二つから三角形XACと三角形XDBは相似だとわかります。よって、∠XAC=∠XDB・∠XCA=∠XBDが成立し、円周角の定理の逆より4点A.B.C.Dが同一円周上に存在すると示せました。円周角の定理の逆では、対応する角が弦の直線に対して同じ側にあることが条件ですが、AとDは直線BCで区切ったときに同じ側にあるものとしているので満たしています。

●Xが線分ABおよび線分CDの外にあり、4点がいずれも異なる点である場合


AX×BX=CX×DXが成立するとき、AX:DX=CX:BXです。また、共通角を持つので∠AXC=∠DXBであり、この二つから三角形XADと三角形XCBは相似だとわかります。よって、∠XAD=∠XCBが成立し、∠BAD=180°ー∠XAD=180°ー∠XCBより ∠BAD+∠DCB(∠XCB)=180°です。したがって、四角形ACDBの対角が180°であることから、4点A.B.C.Dは同一円周上にあることがわかりました。

●Xが線分ABおよび線分CDの外にあり、C=Dである(片方だけ2点が一致している)場合


A=Bである場合も同じ証明のため、C=Dの場合のみを取り上げます。AX×BX=CX×CXが成立するとき、AX:CX=CX:BXと共通角を持つことから∠AXC=∠CXBであり、三角形XACと三角形XCBは相似なので∠XCA=∠XBCです。よって、接弦定理の逆よりA.B.Cは同一円周上にありかつXCが接線であることが分かりました。

●Xが線分ABおよび線分CDの外にあり、A=B・C=Dである場合


2点A.Cの両方を通る円が存在することは明らかでしょう。求めるべきものは、先ほどの4番目の逆条件ですから、XAとXCが接線となる円が存在するかです。試しに、Aを通りXAと垂直に交わる直線MとCを通りXCと垂直に交わる直線Nを考えます。XとAとCはいずれも異なる点でかつXを交点に持つのでXAとXCは完全一致でも平行でもなく、共に垂線である直線Mと直線Nの交点も1つです。


その点をYとすると、三角形XAYと三角形XCYは、XY共通・条件XA×XA=XC×XCよりXA=XC・∠XCY=∠XAY(Yは垂線M.Nの交点だから)が成り立つことより直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しいので合同だとわかりました。したがって、YA=YCでYからも2点A.Cを通る円が引け、かつ∠XCY=∠XAY=90°なので XAとXCが接線となる円は存在します。

◎方べきの定理に関する応用問題、余事象(片方が線分で片方が延長上の点の場合)は考慮しなくてよいのか?


ここまで方べきの定理および逆の証明を見てきましたが、全ての場合を網羅していないことにお気づきになったかもしれません。具体的には、以下の画像のように片方が線分でもう片方が延長線上の場合を除いていたのです。


この位置関係そのものを記すことは可能ですが、4点A.B.C.Dを通る円は存在しないことがわかります。なぜなら、たとえば線分ABの間にXが存在したとすると、XはA.Bを通る円の内側にあり、Xを通る直線を描くには円の外側から円の内側に入る⇒Xを通る⇒円の内側から外側に出るの順になるためです。これは、もう片方の線分CDの延長上にXがあることに矛盾します。そのため、ここではXが線分ABおよび線分CDの間にある場合と 基準の点が円の外側にある場合のみを考慮しました。なお、方べきとは円周上にない点Xから~と定義していましたので、点Xが円周上にある場合はもちろん考慮する必要はありません。

◎まとめ


今回は、方べきの定理および方べきの定理の逆の証明方法を、練習問題や応用問題も合わせてご紹介しました。証明は4つの場合を考える必要があり、円周角の定理・接弦定理・2接線と円の関係など平面図形の要素がいくつも絡まる点で複雑です。もしよくわからない場合には、それぞれの定理に戻ってじっくりと理解していくと良いでしょう。最後までお読みいただきありがとうございました。

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