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接弦定理とは?接線と弦の作る角の定理の証明、覚え方と応用問題[中学/高校]

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接弦定理を中学や高校で習ったときにどう証明するのかが気になったかもしれません。求め方を知っておくと暗記に頼る必要もないですし、理解が深まりますよね。 今回は、接弦定理および接弦定理の逆の証明方法をご紹介します。



◎接弦定理とは?円の接線と弦のつくる角の定理


接弦とは、接線と弦の意味です。円の接線と弦のつくる角度と弦に対する円周角が等しいことを接弦定理と呼びます。たとえば、円に内接する三角形ABCとBを接点とする接線上の点をS.Tとしましょう。このとき、接線と弦の作る角度とは∠SBCで、弦に対する円周角は∠BACです。接弦定理では∠SBC=∠BACが成り立ち、同様に∠TBA=∠BCAも成立します。



◎接弦定理はいつ習うのか?中学or高校?


接弦定理は、文部科学省の指導要領には名称が出てきません。ただし、平成30年(2018年)告示の高等学校学習指導要領では、数学A;円の性質の一例として方べきの定理などと並び「円の接線と接点を通る弦とのなす角の性質」との文言があり、これが接弦定理を意味していると考えられます。円周角の定理など円と三角形の性質の応用として取り上げられることもあり、進度が速いと中学2年生で出てくることもあるようです。



◎接弦定理の覚え方:接線と弦の作る角を決めるのがポイント


接弦定理はどの場所の角度が対応しているのかがわかりづらいかもしれません。接弦定理の証明が怪しくなった場合に、覚え方も知っておくと間違いを防げますよね。接弦定理の覚え方は、接線と弦の作る角を決めるのがポイントです。まず、円の接線と弦のつくる角を探します。接線がBTのとき、接線と弦の作る角は∠BTAなので弦はABです。


弦が決まれば、円周上の弦に対する弧を見つけ、弧にある円周角を探します。ここでは、弦ABに対する弧は色を付けた部分で弧に対応する円周角は∠BCAです。



◎接弦定理の証明:円周角と接線の性質を利用


接弦定理がなぜ成り立つのかは、円周角のうち∠Aが鋭角(90度未満)・直角(90度)・鈍角(90度より大きい)の3通りで分けて証明します。円周角がどのようなものなのか・円周角の定理の証明方法に関しては、こちらの記事も参考にしていただけますと幸いです。



●接弦定理の証明:鋭角の場合


円の中心Oおよび接点Bを通る直線を引き、B以外の円との交点をDとおきます。ここで、DBは円の中心Oを通っているので円の直径ですから、円周角と中心角の関係より∠BAD=90度です。∠BCA=●とおくと円周角の定理より弦が共通している円周角の大きさは等しいので、∠BCA=∠BDA=●が成り立ちます。よって、三角形ABDにおいて∠DBA=180°- ∠BDA- ∠BAD=180°-●-90°=90°-●です。


他方、BDは円の直径であり、接線と90度に交わることから、∠TBO=90度も成り立ちます。したがって、∠TBA= ∠TBO-∠ABO=90°-( 90°-●)=●で、 ∠BCA=∠BDA= ∠TBAだとわかりました。三角形の内角の和が180度・直線をなす角度が180°であることから他の部分を除いて、∠BAC=180°-(∠ABC+∠BCA)= 180°-(∠ABC+∠TBA)=∠SBCも成り立ちます。



●接弦定理の証明:直角の場合


円に内接する三角形が直角の場合、円の接線が90度であることから ∠SBC=∠BAC=90度となります。 三角形の内角の和が180度・直線をなす角度が180°であることから他の部分を除いて、∠TBA=∠BCAです。



●接弦定理の証明:鈍角の場合


円の中心Oおよび接点Bを通る直線を引き、B以外の円との交点をDとおきます。ここで、DBは円の中心Oを通っているので、円の直径ですから、∠BAD=90度です。∠CAD=▲とおくと円周角の定理より弦が共通している円周角の大きさは等しいので、 ∠CAD =∠CBD= ▲ となります。


他方、BDは円の直径で接線と90度に交わることから、∠SBD=90°が成り立ち、∠SBC=∠SBD+∠CBD=90°+▲です。∠BAC=∠BAD+∠CAD= 90°+▲より、∠SBC=∠BACだとわかりました。三角形の和と直線の角度が180度であることから∠TBA=∠BCAも成立します。



◎接弦定理の逆の証明


接弦定理の逆とは、三角形ABCと直線STが点Bで交わっていて、SとAが直線BCに対して・ TとCが直線BAに対して違う側にあるとき、∠SBC=∠BAC・∠TBA=∠BCAが成り立つならば直線STが三角形ABCの外接円と接することです。接弦定理の逆の証明は、接弦定理を利用して接線に一致することを証明する方法がよく用いられています。



●接弦定理を利用して接線に一致することを証明する


三角形ABCの外接円に関して、Bにおける接線を引き、ABに対してCと違う側にある点をUとおきます。このとき接弦定理より∠UBA=∠BCAです。一方で、仮定より∠TBA=∠BCAなので、∠TBA=∠UBAが成り立ちます。ここで、UとTはともに直線BAに対してCとは違う側にあるとしていたため、UとTが同一直線上にあり、直線STが接線に一致すると示せました。


ただ、接弦定理が成り立っていることを前提に逆を示すのはすっきりしない方もいらっしゃるかもしれません。そこで、接弦定理を使わずに接弦定理の逆が成立することを証明してみましょう。



●3点を通る円を作図し、直線が90度で交わることを示す


まず、三角形ABCに外接する円を考えます。三角形の外接円の作図は、外心(各辺の垂直二等分線の交点)をとり、外心を中心・外心と頂点を半径とする円を描くことで可能です。【詳しくはこちら】三角形の各辺はいずれも1点のみでお互いと交わるので平行・一致いずれでもなく、垂直二等分線同士も 平行・一致いずれでもないので1点で交わることから、外心も1通りに決まります。


ここからは、三角形・外接円に対して直線STが接線であることを証明しましょう。直線と三角形の交点であるBから外接円の中心を通る線を引き、円周上の逆側の交点をDとします。このとき、BDは円の直径ですから∠BAD=90度で、円周角の定理より∠CBD=∠CADです。仮定より∠SBC=∠BACですから、以上の等式を合わせて、∠SBD=∠SBC+∠CBD=∠BAC+∠CAD=∠BAD=90°が成り立ちます。したがって、直線STは外接円の直径に垂直であることから、 直線STが三角形ABCの外接円と接することが示せました。



◎接弦の定理で用いた、円と円の接線の性質の証明


接弦の定理は、円の接線が90度であることを利用して証明しています。当たり前であるかのように使っている内容ですが、本当に必ず成り立つのかが気になるかもしれません。円の接線が90度で交わる原理や証明はこちらの記事で触れていますので、参考にしていただけますと幸いです。



◎接弦定理を利用した方べきの定理の証明



◎まとめ


今回は、接弦定理および接弦定理の逆の証明方法をご紹介しました。証明は、円周角の定理と接線が円の直径と直交することなどを利用します。逆の流れや覚え方もあわせて理解しておくとスムーズに問題も解けるでしょう。最後までお読みいただきありがとうございました。

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