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正六面体・立方体の展開図は何種類?


正六面体・立方体の展開図は、小学校の算数や中学校の数学だけではなく、就活での適性検査であるTG-WEBの問題で見たことがあるかもしれません。サイコロをはじめとする立方体の展開図の数が何種類あるのかだけではなく、立方体の展開図の書き方まで知っていると困らずに解けますよね。今回は、立方体の展開図が何通りあるのかを、証明の流れとも絡めてご紹介します。



◎立方体の展開図の数は何通りある?


立方体の展開図の数は、全部で11種類です。
「あれー?意外と少ない…」と思ったかもしれません。多そうな感じもする立方体の展開図の数が11通りだけなのは、回転・対称移動によって重なるものがあるからです。たとえば、以下の図形はすべて同じものだとわかりますか?


上側に並んでいる4種類の図形は、四つの面が連続し、上下に1つずつ面が接している一番左のものを90度ずつ回転させたものです。また、下側に並んでいる4つの図形は、上側の四つの左右を逆にして配置しています。このように、回転させたり対称移動させたりすることで一致する展開図もあるため、同じものではないかに注意しなければいけません。そのため、立方体の展開図が何通りあるかを考える際には、特定の面を固定させながら書き出していく必要があります。



◎正方形は最大いくつ並ぶか?正六面体の展開図の種類


正六面体・立方体の展開図を証明する問題や全部書き出す問題も出てくるかもしれません。証明の流れとしては、考えられる場合を挙げて、立方体の展開図でありえないものを除き、残ったパターンを場合分けして順番に探り出していきます。おすすめは、立方体の展開図で、6つの正方形が展開図を組み立てる際に最大で何個連続で並んでいるかによって場合分けし、絞り込む方法です。


まずは、6つの面のうち同じ方向に連続してどのくらい並べられるかを考えてみましょう。結論から言えば、6つの面全てが横一列に並ぶことはありません。なぜなら、組み立てたときに、一番左の面を上にすると2番目以降右⇒下⇒左となり左から5番目の面が上に来て一致してしまうからです。つまり、5つ以上連続すると重なる部分が出てくるので、最大でも面が連続するのは4つまでだとわかります。



◎サイコロの展開図で考える、立方体の展開図11種類の一覧


そこで、連続して並ぶ面が2・3・4つの場合それぞれにわけて、展開図を考えていきましょう。ここでは、サイコロの展開図を例として見やすいように敢えて各面に数字を記しましたが、実際には区別がなく全く同じ形(正方形)のため、単に数字が入れ替わっているだけのものは同一の展開図とみなします。



●立方体の展開図のうち、連続して並ぶ面が4つのものは何種類?


連続して並ぶ4つの面を③⑤④②の場合のみを考えます。このとき、①と⑥の面は互いに接することがないように位置するので、③⑤④②に対して逆側です。①と⑥の配置は、お互いに同じ面に対して向かい合っている場合と違う面に接している場合があります。同じ面に接しているのは、一番端か内側かの2通りです。③と②の面で向かい合っているものは回転させると同じ図形になります。


違う面に接しているのは、③⑤の場合・③④の場合・③②の場合・⑤④の場合の4通りです。端同士・内側同士・片方が端でもう片方が内側のどちらかに位置しています。⑤②の場合は回転移動させると③④の場合に一致し、上にある青色の面が右側に来ている場合には、左右対称で一致するものがあるのでカウントしません。



●立方体の展開図のうち、連続して並ぶ面が3つのものは何通り?


同じようにいくつかの面を固定して考えていきます。ただし、今回は並べ方によっては別の場所にも3つ連続ができたり、NG例として縦向きに4面連続があったりするので注意しましょう。


ここでは、③⑤④の面を固定して①②⑥の面を動かしていきます。先ほど、4面連続+上下に向かい合う形の立方体の展開図がありましたが、このうち内側で向かい合っているものに注目しましょう。②に該当する外側にはみ出した部分は、実際に立方体を組み立てると①の面にも接しているので、黒く塗った辺同士をくっ付けるようにして移動しても問題なく組み立てられます。よって、これが 連続して並ぶ面が3つのもののうちの1つ目の展開図です。


さらに、先ほどと同様に、下側⑥の面をスライドさせられるので、3面に対して上側に横2面・下側に1面が向かい合うもののほかにも、1つずれているもの、2つずれているものも立方体の展開図として成立します。一方で、横2面を右側にずらすと組み立てた際に被る箇所が生じ、画像のように縦向きに並べても回転させると同じ展開図になってしまってうまくいきません。


実は、立方体の展開図のうち残りの2種類は、非常に特殊な形をしています。先ほどから①と⑥の面は連続する面に対して逆側にくるように考えてきましたが、例外が2通り存在するのです。そのうちの1つが、3つ連続したものの端からさらに3つの四角が連続しています。実感がわかない場合には、別の展開図のうち、2面を動かすと想像しやすいかもしれません。



●立方体の展開図のうち、連続して並ぶ面が2つのものは


立方体の展開図のうち、連続して並ぶ面が2つのものは1通りのみが考えられ、下の図のようにジグザグに並んでいます。イメージし辛い場合には、先ほどの4面が並んでいる展開図から連想すると良いでしょう。使うのは、同じく片方が端でもう片方が内側の逆の面に位置している展開図です。右側の2つを黒い点を中心に回転させると、ジグザグに並んだ展開図に変わります。



◎サイコロの展開図・立方体の展開図で中学やTG-WEBではどんな問題があるのか?


サイコロの展開図・立方体の展開図に関して中学やTG-WEBで出題される問題には主に2種類が考えられます。1つ目は、展開図としてふさわしいものがどれなのかを選ぶ問題です。立方体の展開図は全部で11通りですから、形を覚えておけば難なく解けるかもしれません。万一忘れた場合には組み立てるのが早いですが、重なる部分がないかに着目すると良いでしょう。

2つ目は、展開図を組み立てたときにどのような向きになるかです。この場合は、1マスずらすと90度回転することに注意しましょう。たとえば、上記のように、AとBが描かれている場合、組み立てるとBは2回90°回転するため、ちょうど逆向きに見えます。頭の中で想像できれば問題ないですが、難しいのであれば、対応する辺を書き出して動かしていくのがおすすめです。

◎まとめ

今回は、立方体の展開図が何通りあるのかを、証明の流れや実際の作成方法を含めてご紹介しました。11種類と少ないですが、その分被りや展開図にはならないものも多いので要注意です。ご自身で書き出せるほか、辺に注目して向きまで考えられるようになるとより安心して試験に臨めるでしょう。最後までお読みいただきありがとうございました。




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